LOS JUEGOS NO
SIEMPRE SON BROMAS
Como
ha sido convenientemente divulgado, a pesar de que la vorágine diaria de
noticias político-económicas ha obligado a destinar un espacio muy pequeño a la
noticia, el Banco de Suecia, como cada año desde 1968 en memoria de Alfred
Nobel[1], ha
concedido el premio Nobel de economía de 2012 a los norteamericanos Alvin Elliot
Roth, profesor de la Universidad de Stanford y Lloyd Stowell Shapley, profesor
emérito de la Universidad de California Los Ángeles, por su contribución a la
“ingeniería económica” al aplicar la teoría de los juegos, en este caso en su
vertiente de combinaciones de mercado, a la resolución de problemas cotidianos
como el establecimiento de esquemas de mejora de programas de coordinación en
la donación de órganos o hallar la respuesta a preguntas tales como qué
trabajador obtiene tal puesto de trabajo y por qué o qué estudiante va a qué
escuela y por qué.
En
efecto, los estudios de los doctores Roth y Shapley (sin desmerecer en absoluto
su trabajo, por supuesto) no han hecho sino aplicar a realidades cotidianas con
alto componente práctico una forma de enfocar la ley de probabilidades
utilizando para ello las matrices propias del estudio de problemas con la
teoría de juegos, que, más allá de la errónea banalización que puede provocar
su nombre, debe recordarse que es una rama de la economía que estudia las
decisiones aplicables a una determinada situación en las que para que un
individuo obtenga un resultado positivo tiene que tener en cuenta las
decisiones tomadas por el resto de los agentes que intervienen en la situación.
La teoría de juegos como estudio matemático no es exclusivo de la economía,
sino también, como se puede deducir, precisamente de la concesión del premio
Nobel de este año, es válida para la gestión empresarial, diseño de estrategias
en prácticamente todos los campos, incluyendo el político, psicología o incluso
en biología. Es decir, en ella, el actor “jugador” A no sólo se pregunta qué va
a hacer, sino que en esta pregunta deberá tener en cuenta el abanico de
posibilidades de actuación que piense que harán los demás intervinientes B, C,
.. que, a su vez, diseñarán su actuación según lo que crean que va a hacer A.
Es
interesante observar que la aplicación de la teoría de juegos es particularmente
útil en la resolución de divergencias en
las relaciones humanas, por lo que no está de más incidir en que su utilidad
matemática está relacionada con la voluntad de encontrar resultados positivos
para ambas partes analizadas.
Si
seguimos el ejemplo que ya, curiosamente, utilizábamos en el boletín anterior[2], de
la problemática surgida entre Catalunya y España, y pretendiéramos analizarlo
sólo a la luz de la teoría de juegos, lo que es obvio es que, para estudiar un
resultado útil de acuerdo con las leyes de la probabilidad, no es válida la
imposición, que anula la teoría al prescindir de una de las partes en juego.
Haciendo un símil, seguramente simplista, puede compararse con la manifestación
de desavenencias serias en una pareja. En primer lugar habría que ir al origen
para analizar la previsión de acciones del/de la demandante, si ha habido
avisos previos o señales, si es espontánea, las razones que arguye, etc. Una
vez todos los datos en poder del analista, si lo que se pretende a la postre es
salvar la convivencia, ni se puede argumentar que el divorcio es ilegal, ni se
pueden esgrimir amenazas (“mis amigos te harán el vacío”, “no te pasaré la
pensión compensatoria”,”te daré de baja del club de golf”…), ni se pueden
menospreciar las razones argumentadas ya que en ese caso, el resultado al que
se llegue será viciado.
Es
por ello que, para llegar a conclusiones razonables en la aplicación de la
teoría es imprescindible entender el enunciado del problema; abundando en el
mismo ejemplo anterior, por lo que se ve y oye, se está peleando por
independencia sí, independencia no, cuando, si se revisa calmadamente los
antecedentes, lo que está en cuestión es otra cosa. Si el sentimiento que
origina el problema en estudio se constriñe a un capricho pasajero de un
representante político o se reduce sólo a la vertiente económica, los
resultados saldrán nuevamente sesgados, precisamente por no haber captado la
razón última del problema.
Este
aspecto se verá más claramente en el desarrollo, más abajo, de los conceptos
alrededor de los equilibrios de Nash, (John Forbes Nash, personaje, por cierto,
reflejado en la desasosegante película “Una mente maravillosa”).
La teoría de juegos – Un poco de historia
El estudio de cómo se
desarrollan los juegos ha conducido a científicos de todas las épocas a exponer
teorías y modelos matemáticos para su resolución: sin ir más lejos, la
estadística es una rama de las matemáticas que surgió, precisamente, de los
cálculos para diseñar estrategias vencedoras en juegos de azar pese a que la
actual teoría de los juegos tiene poco que ver con la estadística. Conceptos
tales como probabilidad, media ponderada y distribución o desviación estándar,
son términos acuñados por la estadística matemática que tienen aplicación en el
análisis de juegos de azar o en las frecuentes situaciones sociales y
económicas en las que hay que adoptar decisiones y asumir riesgos ante
componentes aleatorios.
Todos los juegos, de niños
y de adultos, de mesa o deportivos, son modelos de situaciones conflictivas y
cooperativas (o no) en las que podemos reconocer situaciones y pautas que se
repiten con frecuencia en el mundo real.
El objetivo de la teoría de juegos no es el análisis
del azar o de los elementos aleatorios que intervienen en el desarrollo del
juego sino el de los comportamientos estratégicos de los jugadores.
En la realidad, tanto en
las relaciones económicas como en las políticas o sociales, son muy frecuentes
las situaciones en las que, como en los juegos, su resultado depende de la
conjunción de decisiones de diferentes agentes o jugadores.
El origen de la teoría
cabe buscarlo en los primeros trabajos de Cournot, en 1838, complementados por
Bertrand, en 1883, y Edgewoth en 1887, acerca de la oferta y la demanda
económicas, tanto en situación de competencia como de monopolio[3].
Posteriormente hay que
citar trabajos de Ernst Zermelo (1871-1953) y de Émile Borel (1871-1956) sobre
aplicaciones de la probabilidad y estadística, junto con la teoría matemática
de conjuntos, a la resolución de problemas. Cabe destacar que en 1913 Borel
demostró que juegos como el ajedrez son resolubles.
Sin embargo, no fue sino
hasta la aparición en 1944 del libro “The Theory of Games and Economic
Behavior”, del matemático húngaro
John Von Neumann y del alemán Oskar Morgenstern[4]
cuando se comprendió la importancia de la teoría de juegos para estudiar
las relaciones humanas.
Von Neumann y Morgenstern
desarrollaron la investigación sobre dos planteamientos distintos de su Teoría
de Juegos:
- El planteamiento estratégico o no cooperativo. Von
Neumann y Morgenstern resolvieron este problema en el caso particular de juegos
con dos jugadores cuyos intereses son diametralmente opuestos., que requiere especificar
detalladamente qué pueden y qué no pueden hacer los jugadores durante el juego
para dar pie a que cada jugador busque una estrategia óptima. A estos juegos se
les llama estrictamente competitivos, o de suma cero, porque cualquier ganancia
para un jugador siempre se equilibra exactamente por una pérdida
correspondiente para el otro jugador. El ajedrez, el backgammon y el póquer son
juegos tratados habitualmente como juegos de suma cero.
- El planteamiento coalicional o cooperativo, en el que intentaron
describir la conducta óptima en juegos con muchos jugadores. Dado que es éste
un problema mucho más difícil, los resultados obtenidos fueron mucho menos
precisos que los alcanzados para el caso de suma cero y dos jugadores. En
particular, Von Neumann abandonó todo intento de especificar estrategias
óptimas para jugadores individuales. En lugar de ello se propuso clasificar los
modelos de formación de coaliciones que son consistentes con conductas
racionales.
Antes de los años 50 del
pasado siglo se produjo un desarrollo importante, en particular sobre los
juegos cooperativos, debido al interés del Departamento de Defensa de los
Estados Unidos por aplicar los juegos de tipo suma-cero a la estrategia
militar, hasta llegar al hito fundamental
expuesto por Nash en 1950 con la definición del equilibrio que lleva su nombre.
Conviene detenerse
brevemente en la figura de Nash, fundamental en el desarrollo posterior de la
teoría y sus crecientes aplicaciones. John Forbes Nash (nacido en1928) es el
nombre más destacado relacionado con la teoría de juegos. A los 21 años expuso
por primera vez su solución para juegos estratégicos no cooperativos, lo que desde
entonces se llamó "el equilibrio de
Nash", que tuvo un inmediato reconocimiento entre todos los
especialistas[5].
El punto de equilibrio de
Nash es una situación en la que ninguno de los jugadores siente la tentación de
cambiar de estrategia ya que cualquier cambio implicaría una disminución en sus
pagos[6],
aunque ya Von Neumann y Morgenstern habían ofrecido una solución similar pero
sólo para los juegos de suma cero.
En los años siguientes
publicó nuevos escritos con originales soluciones para algunos problemas
matemáticos y de la teoría de juegos, destacando la "solución de regateo
de Nash" para juegos bipersonales cooperativos. Propuso también lo que se
ha dado en llamar "el programa de Nash" para la reducción de todos
los juegos cooperativos a un marco no cooperativo. A los veintinueve años de
edad se le diagnosticó una esquizofrenia paranoica que lo marginó prácticamente
de la sociedad e inútil para el trabajo científico durante dos décadas hasta
que, recuperada su salud mental pudo volver a la docencia y la investigación
con nuevas geniales aportaciones, que lo llevaron a conseguir en 1994 el Premio
Nobel de Economía compartido con John C. Harsanyi y Reinhart Selten por sus
pioneros análisis del equilibrio en la teoría de los juegos no cooperativos.
En los 60 y 70 se extendió
por otros estudiosos la teoría de juegos de información incompleta, es decir,
aquellos en que los jugadores no conocen todas las características del juego (por
ejemplo, no saben lo que obtienen los otros jugadores como recompensa).
Ante la multiplicidad de
equilibrios de Nash, muchos de los cuales no eran soluciones razonables a juegos,
Selten definió en 1975 el concepto de equilibrio perfecto en el subjuego para
juegos de información completa y una generalización para el caso de juegos de
información imperfecta.
La última aportación
importante a la teoría de juegos es del matemático israelí nacido en Alemania
en 1930 Israel Robert John Aumann y del economista estadounidense nacido en
1921 Thomas Crombie Schelling, por la que han obtenido el premio Nobel de Economía
en el año 2005. Aumann fue pionero en realizar un amplio análisis formal de los
juegos con sucesos repetidos. La teoría de los juegos repetidos es útil para
entender los requisitos para una cooperación eficiente y explica por qué es más
difícil la cooperación cuando hay muchos participantes y cuándo hay más
probabilidad de que se rompa la interacción. La profundización en estos asuntos
ayuda a explicar algunos conflictos, como la guerra de precios y las guerras
comerciales.
Por su parte, en The
Strategy of Conflict, Schelling, aplica la teoría de juegos a las ciencias
sociales. Sus estudios explican de qué forma un partido puede sacar provecho
del empeoramiento de sus propias opciones de decisión y cómo la capacidad de
represalia puede ser más útil que la habilidad para resistir un ataque.
Clases de juegos
Los juegos se pueden
clasificar de múltiples maneras en función de características, intervinientes,
evolución en el tiempo, etc. pero, en resumen, para el acercamiento a sus
aplicaciones que representan estas líneas, se pueden reducir a dos clases, que
plantean diferentes problemas y se analizan de forma muy distinta
- En primer lugar
tenemos los juegos en los cuales los jugadores pueden comunicarse y negociar
entre ellos, conocidos como juegos con
transferencia de utilidad (también llamados juegos cooperativos), en los
que el problema se encuentra en el momento de elegir las diferentes coaliciones
y su estabilidad.
- En segundo
lugar tenemos los juegos en los que los jugadores no pueden llegar a acuerdos
previos, conocidos como juegos sin
transferencia de utilidad, (también llamados juegos no cooperativos).
Algunos de estos juegos son: "la guerra de los sexos", el
"dilema del prisionero" o el “modelo halcón-paloma". Un segundo
tipo de juegos sin transferencia de utilidad suelen ser sólo para dos
jugadores. Pueden ser simétricos o asimétricos dependiendo que los resultados
sean idénticos desde el punto de vista de cada jugador. Pueden ser también de
suma cero, es decir, cuando el aumento en las ganancias de un jugador implica
una disminución de la misma cantidad en las del otro, o de suma no nula en caso
contrario, o sea, cuando la suma de las ganancias de los jugadores puede
aumentar o disminuir en función de sus decisiones.
Por otra parte,
cada jugador puede tener opción a dos estrategias si se trata de un juego
biestratégico, o a muchas. Las estrategias a su vez pueden ser puras o mixtas;
en las mixtas se asigna a cada estrategia pura una probabilidad matemática.
Para los juegos con repetición, que son aquellos que se juegan varias veces
seguidas por los mismos jugadores, las estrategias pueden ser simples o
reactivas, si la decisión depende del comportamiento que haya manifestado el
contrincante en jugadas anteriores.
Algunos ejemplos conocidos
1.- El dilema
del prisionero
El dilema del prisionero es el ejemplo
más típico de teoría de juegos. Supongamos que detienen a dos personas por
delitos menores que les costarían a cada una de ellas dos años de cárcel. La
policía sabe que, además de esos delitos, han cometido uno más grave, pero para
inculparlos necesitan pruebas, supongamos que la declaración de uno de los dos.
Si ambos delatan
al otro por el delito mayor, la pena para cada uno seré de seis años de cárcel.
Si uno delata y el otro no, el delator irá a prisión solamente un año por
colaborar y el otro será castigado con
diez años por el delito. Teniendo en cuenta que los prisioneros no
pueden comunicarse entre ellos (están en habitaciones separadas) ¿qué se supone
que harán?
Supongamos que
somos uno de los dos prisioneros. No sabemos qué hará el otro
por lo que pensamos que la mejor solución es delatar al otro,
independientemente de lo que haga él, ya que en cualquier supuesto (que también
delate él o que no lo haga) minimizamos los años de pena esperados en la
cárcel. Si el otro nos delata iremos seis años en vez de diez y si no nos
delata iremos uno en vez de dos.
Dado que el otro
tiene la misma oportunidad de razonamiento y similares objetivos, lo más
probable es que llegue a la misma decisión. Al final lo que acaba pasando,
seguramente, es que ambos quedarán confinados seis años entre rejas, mientras
que si hubieran cooperado hubieran sido sólo dos. La situación alcanzada es un equilibrio de Nash, porque ambas
partes no pueden cambiar sin empeorar. Es decir, no se llega a la mejor
situación para las partes.
Para representar
gráficamente las opciones y resultados en teoría de juegos se
suelen utilizar matrices (también conocidas como forma normal) y árboles de
decisión como herramientas para comprender mejor los razonamientos que llevan a
un punto u otro. Además los juegos se pueden resolver usando las matemáticas,
aunque suelen ser bastante sofisticadas como para entrar en profundidad. En el
caso del dilema del prisionero, la representación sería
Prisionero
1
|
|||
No delatar
|
Delatar
|
||
Prisionero
2
|
No delatar
|
(-2,
-2)
|
(-10,
-1)
|
Delatar
|
(-1,
-10)
|
(-6,
-6)
|
|
2.- La guerra
de sexos
Algunos
juegos tienen múltiples equilibrios de Nash, como el juego conocido como la
Guerra de los Sexos, cuyo planteamiento es el que se ofrece a continuación.
Cristina
y Guillermo cenarán juntos esta noche y se encuentran actualmente llegando al
hogar desde sus lugares de trabajo. Se supone que Cristina comprará el vino y
Guillermo el plato principal, pero Cristina podría comprar vino tinto o vino
blanco, y Guillermo bistec o pollo. Ambos preferirían que la combinación
resultante fuera el bistec con vino tinto y la carne de pollo con vino blanco, si
bien Guillermo prefiere la primera combinación y Cristina la segunda; es decir,
los jugadores prefieren coordinarse pero están en desacuerdo en la forma de hacerlo. El par (Bistec / Vino
Tinto) es un equilibrio de Nash, así como también lo es el par (Pollo / Vino
Blanco), pero no hay una manera obvia de decidir entre ambos equilibrios. La
representación gráfica sería:
Cristina
|
|||
Tinto
|
Blanco
|
||
Guillermo
|
Bistec
|
(2, 1)
|
(0, 0)
|
Pollo
|
(0, 0)
|
(1, 2)
|
|
Hay muchas aplicaciones de este juego, incluyendo a grupos
políticos que buscan establecer una normativa, a empresas que tratan de
establecer un estándar industrial, etc. El concepto de equilibrio de Nash pierde
gran parte de su atractivo en tales casos de multiplicidad. Sin embargo, que en alguno de esos casos surja algún equilibrio
de Nash como un acuerdo útil y consensuado puede depender de antecedentes o accidentes
históricos.
3.-
Modelo halcón-paloma
Usualmente, en términos
políticos, entendemos por "halcón" a los partidarios de estrategias
más agresivas para la resolución de conflictos mientras que identificamos como
"paloma" a los más pacifistas.
El modelo halcón-paloma,
dentro de la teoría de juegos, sirve para analizar situaciones problemáticas
ocasionadas entre estrategias agresivas y conciliadoras. Este modelo es
conocido en la literatura anglosajona como el "hawk-dove" o el
"chicken" y en español es conocido también como
"gallina".
El planteamiento puede ser
el que sigue:
Dos vehículos se dirigen
uno contra otro en la misma línea recta y a gran velocidad. El que frene o se
desvíe ha perdido. Pero si ninguno de los dos frena o se desvía...
Este sería un claro modelo
halcón-paloma
También se ha utilizado
este modelo abundantemente para representar una guerra fría entre dos partidos o gobiernos. La estrategia halcón
consiste en este caso en proceder a una escalada agresiva y bélica. Si un
jugador mantiene la estrategia halcón y el otro elige la estrategia paloma, el
halcón gana y la paloma pierde. Pero la peor situación para ambos sed produce,
obviamente, cuando los dos jugadores se aferran a la estrategia halcón, en cuyo
caso, el resultado puede modelizarse con la siguiente matriz de pagos.
Jugador
B
|
|||
Paloma
|
Halcón
|
||
Jugador
A
|
Paloma
|
(2º, 2º)
|
(3º, 1º)
|
Halcón
|
(1º, 3º)
|
(4º, 4º)
|
|
Podemos observar las
sutiles pero importantes diferencias de este modelo con el Dilema del
Prisionero. En principio la matriz es muy parecida, simplemente se han representado
la equivalencia en el orden de elección y se han trocado las posiciones de los
pagos 3º y 4º, pero la solución y el análisis son ahora muy diferentes.
Aquí hay dos resultados
que son equilibrios de Nash: cuando las estrategias elegidas por cada jugador
son diferentes; es decir, cuando uno elige halcón y el otro paloma. Por el contrario,
en el Dilema del Prisionero el equilibrio de Nash está en el punto en que ambos
jugadores se convierten en delatores.
Otra notable diferencia de
este juego con otros es la importancia que aquí adquiere el orden en que los
jugadores eligen sus estrategias. Como tantas veces en la vida real, el primero
que juega, gana. El primero elegirá y manifestará la estrategia halcón con lo
que el segundo en elegir se verá obligado a elegir la estrategia paloma, la
menos mala.
Conclusiones
No entramos, ni por su
complejidad ni por el alcance que se pretende dar a este boletín, a exponer
planteamientos complejos de juegos dinámicos, repetitivos, etc., y su
resolución matemática.
Con lo visto hasta ahora
hay una visión lo suficientemente detallada a la vez que generalizada para
recordar la validez de la teoría de juegos en problemas no sólo matemáticos,
sino, especialmente, todos aquellos relacionales en los que ha de tenerse
presentes varias premisas:
-
la teoría de
juegos es, en cierta manera, contrapuesta al análisis de decisión
-
es útil en
situaciones de conflicto y/o competencia entre decidores
-
la consecución
de objetivos y obtención de resultados no dependen sólo de las decisiones
propias y del azar, sino de las decisiones de los competidores
-
es
importantisima la selección de estrategias encaminadas bien a la obtención del
beneficio propio o del mejor resultado común, según se busque.
[1] No es que tenga relevancia en la noticia, pero cabe recordar que el premio Nobel de Economía (Sveriges Riksbank Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel) no forma parte del grupo original de premios de acuerdo con el testamento de Alfred Nobel de 1895, estableciéndose posteriormente, en 1968.
[2] Boletín management nº 17, “Planes de
contingencia”
[3] Antoine Augustin Cournot (1801-1877), matemático y economista
francés considerado como el matemático que comenzó la sistematización formal de
la economía. Fue el primero en utilizar funciones matemáticas para describir
conceptos como demanda, oferta o precio y contribuyó notablemente a la ciencia
estadística. Cournot, junto a otros clásicos como Joseph Louis Bertrand
(1822-1900) o Francis Isidro Edgeworth (1845-1926), fue uno de los precursores
de las Teorías económicas sobre mercados
cuya característica principal es la interdependencia.
[4] Oskar Morgenstern (1902-1977)
matemático alemán emigrado a Estados Unidos a raíz de la Segunda Guerra
Mundial, es autor de numerosos estudios de matemática y economía, el más
conocido de los cuales es el de “The Theory of Games and economic behavior”,
escrito conjuntamente con el matemático húngaro John von Neumann (1903-1957) considerado
uno de los más eminentes científicos del siglo.
[5] El equilibrio de Nash
se alcanza en una situación en la que ninguno de los jugadores de un juego en
el que hay dos o más jugadores y todos conocen los equilibrios de los demás,
quieren cambiar unilateralmente su decisión porque cambiarla supondría empeorar
su condición. Cuando todos los jugadores han tomado una decisión y no pueden
cambiarla sin empeorar su bienestar, se considera que se ha alcanzado un
equilibrio de Nash. Con el equilibrio de Nash puede haber una situación en la
que todos los jugadores incrementen su bienestar sin perjudicar a los demás. No
obstante, en ocasiones el equilibrio de Nash es la única alternativa dadas las
reglas del juego. El equilibrio de Nash se ha utilizado para regular
situaciones de competencia entre empresas y diseñar subastas de adjudicaciones
públicas. Una legislación que tenga en cuenta el equilibrio de Nash puede evitar
oligopolios, por eso en la legislación antimonopolio se suele buscar formas de
evitar que se pacten precios entre las partes implicadas.
[6] Se denominan pagos los resultados o utilidades
que obtiene cada jugador en función de la estrategia de todos los jugadores
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